Phương trình hàm là một trong những chủ đề thú vị và thách thức nhất trong Toán học Olympic. Bài viết này tổng hợp các phương pháp giải phương trình hàm thường gặp.

Phương pháp 1: Thế giá trị đặc biệt

Đây là phương pháp cơ bản nhất. Thay x = 0, y = 0, x = y, x = -y… vào phương trình để tìm f(0), tính chất chẵn lẻ, v.v.

Phương pháp 2: Chứng minh f đơn điệu hoặc liên tục

Nếu chứng minh được f đơn điệu, ta thường kết luận f là hàm tuyến tính f(x) = ax + b hoặc f(x) = cx.

Ví dụ mẫu

Đề bài: Tìm tất cả các hàm f: ℝ → ℝ thỏa mãn: f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y ∈ ℝ.

Lời giải: Đây là phương trình Cauchy nổi tiếng. Với điều kiện bổ sung f liên tục (hoặc đơn điệu), nghiệm duy nhất là f(x) = cx với c = f(1).