Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean) là một trong những công cụ quan trọng nhất trong chương trình Toán chuyên. Bài viết này sẽ trình bày một số dạng mở rộng và ứng dụng hay.

1. Nhắc lại BĐT AM-GM cơ bản

Cho a₁, a₂, …, aₙ ≥ 0, ta có:

(a₁ + a₂ + … + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁ · a₂ · … · aₙ)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a₁ = a₂ = … = aₙ.

2. Dạng Schur mở rộng

Cho a, b, c ≥ 0 và t ≥ 0, ta có bất đẳng thức Schur:

aᵗ(a-b)(a-c) + bᵗ(b-a)(b-c) + cᵗ(c-a)(c-b) ≥ 0

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a²b + b²c + c²a ≤ 4.

Bài 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a² + b² + c² + 1/a + 1/b + 1/c.

Hãy thử sức và chia sẻ lời giải của bạn trong phần bình luận nhé!